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Système d'équations intégrale avec terme supplémentaire non fixé
Posted Jun 3, 2010, 6:07 a.m. EDT 2 Replies
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Bonjour à tous,
J'utilise COMSOL depuis quelques mois mais malheureusement le problème sur lequel je travaille actuellement semble ne pas pouvoir être résolu avec COMSOL malgré l'aide de sa documentation pourtant très complète...
Je dois résoudre un système d'équations intégrales. Il y a deux équations intégrales (il s'agit de deux intégrales surfaciques et ma surface d'intégration est la surface d'une sphère) et deux inconnus qui sont deux fonctions de l'espace (et que j'appelle u(x,y,z) et v(x,y,z) dans la suite). Ce type de problème est facilement résolu par COMSOL en utilisant le mode "General Form" (voir fichier joint) OK ! Mais mon problème est un peu plus compliqué à cause d'un terme supplémentaire dont je n'ai pas encore parlé...
Dans mes équations, il y a donc ce terme supplémentaire non fixé (que j'appelle LAMBDA et qui est indépendant de x,y,z) et qui apparaît de façon non triviale dans ces équations [ LAMBDA apparaît dans des terme exponentiels du type : exp (-LAMBDA^2*((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)) ].
D'après de vieux résultats théoriques sur ces équations, ce système n'admet que des solutions discrètes pour u(x,y,z) et v(x,y,z) (que j'appelle donc u_i(x,y,z) et v_i(x,y,z)) et chacune de ces solutions est associée à une valeur de LAMBDA (que j'appelle donc LAMBDA_i) et qui doit aussi être trouvée. Ce système d'équations intégrales semble un peu analogue à une équation aux valeurs propres mais son écriture ne le fait pas du tout apparaître ainsi explicitement ni tout autre écriture d'ailleurs !
Comment COMSOL peut-il résoudre un tel problème et trouver toutes les solutions de ce système (je veux dire trouver tous les u_i(x,y,z), v_i(x,y,z) et LAMBDA_i possibles) ?
Le solveur utilisé pour résoudre un problème aux valeurs propres ne fonctionne que si mon problème est écrit sous la forme A*u = LAMBDA*u...ce qui n'est pas le cas ici. D'autre part le solveur "Stationnaire" ne fonctionne que s'il n'y a pas de terme en LAMBDA "parasite". Le solveur ''parametric" ne m'est pas d'une grande utilité non plus car LAMBDA n'a pas à être fixé (même en le faisant varier).
Quelqu'un a t-il une piste pour résoudre ce type de problème avec COMSOL ? En fait je ne sais pas du tout si cela peut être traité par la méthode des éléments finis ni si cela a déjà été traité numériquement !
Je vous remercie pour votre aide ! Je me tiens à votre disposition pour tout renseignement complémentaire sur ce modèle.
Sébastien
J'utilise COMSOL depuis quelques mois mais malheureusement le problème sur lequel je travaille actuellement semble ne pas pouvoir être résolu avec COMSOL malgré l'aide de sa documentation pourtant très complète...
Je dois résoudre un système d'équations intégrales. Il y a deux équations intégrales (il s'agit de deux intégrales surfaciques et ma surface d'intégration est la surface d'une sphère) et deux inconnus qui sont deux fonctions de l'espace (et que j'appelle u(x,y,z) et v(x,y,z) dans la suite). Ce type de problème est facilement résolu par COMSOL en utilisant le mode "General Form" (voir fichier joint) OK ! Mais mon problème est un peu plus compliqué à cause d'un terme supplémentaire dont je n'ai pas encore parlé...
Dans mes équations, il y a donc ce terme supplémentaire non fixé (que j'appelle LAMBDA et qui est indépendant de x,y,z) et qui apparaît de façon non triviale dans ces équations [ LAMBDA apparaît dans des terme exponentiels du type : exp (-LAMBDA^2*((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)) ].
D'après de vieux résultats théoriques sur ces équations, ce système n'admet que des solutions discrètes pour u(x,y,z) et v(x,y,z) (que j'appelle donc u_i(x,y,z) et v_i(x,y,z)) et chacune de ces solutions est associée à une valeur de LAMBDA (que j'appelle donc LAMBDA_i) et qui doit aussi être trouvée. Ce système d'équations intégrales semble un peu analogue à une équation aux valeurs propres mais son écriture ne le fait pas du tout apparaître ainsi explicitement ni tout autre écriture d'ailleurs !
Comment COMSOL peut-il résoudre un tel problème et trouver toutes les solutions de ce système (je veux dire trouver tous les u_i(x,y,z), v_i(x,y,z) et LAMBDA_i possibles) ?
Le solveur utilisé pour résoudre un problème aux valeurs propres ne fonctionne que si mon problème est écrit sous la forme A*u = LAMBDA*u...ce qui n'est pas le cas ici. D'autre part le solveur "Stationnaire" ne fonctionne que s'il n'y a pas de terme en LAMBDA "parasite". Le solveur ''parametric" ne m'est pas d'une grande utilité non plus car LAMBDA n'a pas à être fixé (même en le faisant varier).
Quelqu'un a t-il une piste pour résoudre ce type de problème avec COMSOL ? En fait je ne sais pas du tout si cela peut être traité par la méthode des éléments finis ni si cela a déjà été traité numériquement !
Je vous remercie pour votre aide ! Je me tiens à votre disposition pour tout renseignement complémentaire sur ce modèle.
Sébastien
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2 Replies Last Post Jun 3, 2010, 8:06 a.m. EDT
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Posted:
1 decade ago
bonjour,
votre problème est très clairement une implementation de la méthode BEM à priori pour une resonance plasmon
premièrement :plutot que d'utiliser une PDE,on utilise la forme faible facilitant l'ecriture des equations, il existe un fichier de ce type qui a été posté dans ce blog par mr Boudarham
deuxièmement si souvenirs sur la fonction de green sont bons pour certains cas une solution analytique existent
ce qui permet d'écrire une fonction dépendante de x,y,z ,lambda à la fréquence d'excitation. je possède un résumé non publié (onde élastique et non electromagnétisme) sur ce sujet d'un collège mais bizzarement je n'arrive pas à l'attacher donc envoyer moi votre addresse mail perso sur thibault.louvet-carron@laposte.net si vous la désiré
enfin, je pense que sur ce sujet nous devrions plutot communiquer en anglais sur ce forum car certaine personnes de langue non française seraient suceptibles de vous apporter pas mal d'eau au moulin....
bien cordialement
votre problème est très clairement une implementation de la méthode BEM à priori pour une resonance plasmon
premièrement :plutot que d'utiliser une PDE,on utilise la forme faible facilitant l'ecriture des equations, il existe un fichier de ce type qui a été posté dans ce blog par mr Boudarham
deuxièmement si souvenirs sur la fonction de green sont bons pour certains cas une solution analytique existent
ce qui permet d'écrire une fonction dépendante de x,y,z ,lambda à la fréquence d'excitation. je possède un résumé non publié (onde élastique et non electromagnétisme) sur ce sujet d'un collège mais bizzarement je n'arrive pas à l'attacher donc envoyer moi votre addresse mail perso sur thibault.louvet-carron@laposte.net si vous la désiré
enfin, je pense que sur ce sujet nous devrions plutot communiquer en anglais sur ce forum car certaine personnes de langue non française seraient suceptibles de vous apporter pas mal d'eau au moulin....
bien cordialement
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Posted:
1 decade ago
Bonjour Thibault
Merci pour votre réponse ultra rapide !
Je suis tombé moi aussi sur le modèle de Mr Boudarham il y a quelques mois...J'ai déjà travaillé sur l'équation dont il parle mais dans un autre contexte...il s'agit d'une équation aux valeurs propres de Fredholm. Dans son cas il s'agit d'une seule et une seule équation à résoudre du type int F*u = lambda*u. L'écriture de son équation fait explicitement apparaître une équation aux valeurs propres du type A*u=lambda*u ! Dans mon cas le "lambda" fait partie du noyau de façon compliquée (argument d'une exponentielle, mélange de lambda, de lambda au carré, intégration de l'exponentielle) ...et il n'y a aucun moyen de le sortir...J'ai vu que Mr Boudarham a utilisé le solveur "eigenvalue" et la forme faible (il fallait y penser !)...mais son équation est écrite proprement sous la forme d'une équation aux valeurs propres et chaque terme est alors facilement identifiable par COMSOL...
Pour les non anglophones, je vais traduire de suite nos échanges de mail et j'écrirai en anglais la prochaine fois.
Cordialement
Sébastien
Merci pour votre réponse ultra rapide !
Je suis tombé moi aussi sur le modèle de Mr Boudarham il y a quelques mois...J'ai déjà travaillé sur l'équation dont il parle mais dans un autre contexte...il s'agit d'une équation aux valeurs propres de Fredholm. Dans son cas il s'agit d'une seule et une seule équation à résoudre du type int F*u = lambda*u. L'écriture de son équation fait explicitement apparaître une équation aux valeurs propres du type A*u=lambda*u ! Dans mon cas le "lambda" fait partie du noyau de façon compliquée (argument d'une exponentielle, mélange de lambda, de lambda au carré, intégration de l'exponentielle) ...et il n'y a aucun moyen de le sortir...J'ai vu que Mr Boudarham a utilisé le solveur "eigenvalue" et la forme faible (il fallait y penser !)...mais son équation est écrite proprement sous la forme d'une équation aux valeurs propres et chaque terme est alors facilement identifiable par COMSOL...
Pour les non anglophones, je vais traduire de suite nos échanges de mail et j'écrirai en anglais la prochaine fois.
Cordialement
Sébastien